2 Toán, âm nhạc và piano

Trong phần này chúng ta sẽ nói về một số liên hệ thú vị giữa toán, âm nhạc và piano. Có lẽ ai trong chúng ta cũng đã từng được học về các nốt nhạc cơ bản Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, mà theo ký âm phương tây thường được đánh dấu bằng các chữ cái C (Do), D (Re), E (Mi), F (Fa), G (Sol), A (La), B (Si). Các nốt nhạc này sẽ được lặp lại tuần hoàn để tạo thành các quãng tám. Nếu nhìn vào một cây đàn piano, thì các nốt này chính là các phím trắng trên đàn (xem hình bên dưới).

Figure 2.1: Các nốt nhạc tương ứng với các phím trắng trên đàn piano. (Nguồn: Tobias R. - Wikimedia Commons)

Khi ta nhấn vào một phím đàn trên piano, thì bên trong thùng đàn sẽ có một chiếc búa gõ vào dây đàn tương ứng để phát ra âm thanh (video). Độ cao của âm thanh phát ra sẽ phụ thuộc trực tiếp vào tần số rung động của dây đàn. Một điều thú vị là tai người nhận thức cao độ của âm thanh theo thang đo log, nên tần số của các nốt nghe giống nhau sẽ thay đổi theo hàm mũ.

Điều này có nghĩa là gì?

Ví dụ như nếu ta lấy nốt Do ở giữa một cây đàn piano 88 phím (thường được ký hiệu là C4, tương ứng với phím màu xanh trong hình 2.2 bên dưới). Nếu nốt này có tần số là 261.626 Hz, thì nốt Do kế tiếp (nốt C5 trong hình) sẽ có tần số gấp đôi, tức là khoảng 523.251 Hz, còn nốt Do ngay trước nó (nốt C3) sẽ có tần số giảm một nửa, tức là khoảng 130.813 Hz.

Figure 2.2: Tần số của một số nốt nhạc trên một cây đàn piano lý tưởng. (Nguồn: Wikimedia Commons)

Các con số 130.813, 261.626, 523.251 ở trên cũng không phải là các con số ngẫu nhiên, mà là các tần số của một cây đàn piano lý tưởng. Trong một cây đàn piano lý tưởng, thì nốt La ngay sau nốt C4 (ký hiệu A4, tương ứng với phím màu vàng trong hình 2.2) sẽ có tần số là 440 Hz. Khi đó, tần số lý tưởng của các nốt khác sẽ được tính ra tương ứng. Đối với các loại đàn piano cơ, sau một khoảng thời gian nhất định, người ta cần lên dây đàn lại để điều chỉnh tần số các phím về gần với các tần số lý tưởng này.

Vậy có công thức nào để tính được tần số lý tưởng của một phím bất kỳ trên đàn piano?

Theo như những gì đã nói ở trên thì chúng ta biết rằng:

• Nốt A4 có tần số 440 Hz. Lưu ý rằng nốt này tương ứng với phím thứ 49 trên đàn piano (đếm cả phím đen và trắng từ trái qua).
• Mỗi khi lên một quãng tám thì tần số tăng gấp đôi. Ví dụ như nốt A5 (nốt La ở quãng tám thứ 5) sẽ có tần số là 880 Hz.
• Ngoài ra thì mỗi quãng tám có tổng cộng 12 nốt (tổng số phím trắng và đen trong một quãng tám trên đàn piano, xem hình 2.2).
• Khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp là không đổi trong thang đo log. Điều này có nghĩa là nếu đổi sang thang đo thông thường, thì thương giữa tần số của hai nốt liên tiếp là không đổi. Ví dụ như nốt A#4 (tương ứng với phím đen ngay sau phím A4) sẽ có tần số là \(440 \times c\), với \(c\) là một hằng số nào đó. Còn nốt B4 (tương ứng với phím trắng ngay sau phím A4) sẽ có tần số là \(440 \times c^2\).

Với các dữ kiện trên thì chúng ta có thể tính ra được công thức cho tần số lý tưởng của một phím bất kỳ trên đàn piano. Công thức này có dạng là một hàm số \(f(n)\), với \(n\) có giá trị từ 1 đến 88, là thứ tự phím mình muốn tính trên đàn (đếm từ trái sang phải).

(Nếu thích thì bạn có thể tạm dừng ở đây và suy nghĩ xem công thức này là gì).

Chúng ta có thể tính được: \[ f(n) \; = \; 440 \times 2^{\frac{n-49}{12}} \; = \; 440 \times (\sqrt[12]{2})^{n-49} \;\; (\textrm{Hz})\] và hằng số \(c = \sqrt[12]{2}\).

Chúng ta có thể thử áp dụng công thức này để tính tần số cho nốt C4, tức là nốt thứ 40 trên đàn piano (phím màu xanh trong hình 2.2). Với nốt này thì \(n=40\) nên tần số của nó sẽ là \[f(40) = 440 \times 2^{\frac{40-49}{12}} = 261.6255653...\]

Việc biết được chính xác tần số lý tưởng của các nốt sẽ giúp chúng ta điều chỉnh âm thanh của các nhạc cụ để chúng có thể được chơi cùng nhau mà không bị lệch tông (như trong một ban nhạc hoặc dàn nhạc giao hưởng). Đồng thời chúng cũng giúp tạo ra các âm thanh chính xác hơn từ các nhạc cụ điện tử (như piano điện hoặc guitar điện).

Cũng cần phải nói thêm rằng trong lịch sử, nốt A4 không phải lúc nào cũng có tần số 440 Hz. Từ những năm 1860s đến 1930s, nhiều nước sử dụng chuẩn của Pháp là 435 Hz, trong khi nước Anh thì dùng chuẩn là 439 Hz, còn Mỹ thì dùng chuẩn là 440 Hz. Đến năm 1939, đại biểu của các nước châu Âu đã họp tại London và đồng ý sử dụng chuẩn 440 Hz. Một trong những lý do được đưa ra là 440 có nhiều ước số và dễ dùng để tổng hợp các âm thanh điện tử hơn là một số nguyên tố như 439. Đến năm 1955, chuẩn 440 Hz đã trở thành chuẩn quốc tế ISO và được sử dụng rộng rãi đến nay.